§ 17. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений

Формулы сокращённого умножения работали в одну сторону: из квадрата двучлена получался многочлен. Прочитаем их справа налево — и научимся сворачивать трёхчлен обратно в квадрат.

a² + 2ab + b² = (a + b)² a² − 2ab + b² = (a − b)²

Определение. Трёхчлен, который удаётся записать как квадрат двучлена, называют полным квадратом.

Порядок проверки показан на рис. 1: крайние члены обязаны быть квадратами каких-то выражений, а средний — их удвоенным произведением. Знак среднего члена подсказывает, какой знак поставить в скобке.

Сравни на рис. 2 трёхчлены, которые сворачиваются, и похожие на них, которые полными квадратами не являются. Достаточно одному условию не выполниться — и свернуть трёхчлен уже нельзя.

Пример 1. Свернём каждый трёхчлен в квадрат двучлена: 1) x² + 14x + 49; 2) 25m⁴ − 40m²n³ + 16n⁶.

Решение: x² + 14x + 49 = x² + 2 · x · 7 + 7² = (x + 7)². 25m⁴ − 40m²n³ + 16n⁶ = (5m²)² − 2 · 5m² · 4n³ + (4n³)² = (5m² − 4n³)².