§ 16. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Умножать многочлен на многочлен ты уже умеешь. Но некоторые произведения встречаются так часто, что выгоднее один раз получить готовый результат и дальше пользоваться им, как таблицей умножения.

Возведём в квадрат сумму двух выражений:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = = a² + ab + ba + b² = = a² + 2ab + b².

Запомни: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Правило. Чтобы возвести сумму в квадрат, складывают три слагаемых: квадрат первого выражения, удвоенное произведение обоих выражений и квадрат второго выражения.

Откуда берутся именно три слагаемых, показывает площадная модель (рис. 1). Квадрат со стороной a + b разрезан на четыре части: два квадрата с площадями a² и b² и два одинаковых прямоугольника с площадью ab каждый. Сложи площади частей — получится правая часть формулы.

Теперь возведём в квадрат разность двух выражений:

(a − b)² = (a − b)(a − b) = = a² − ab − ba + b² = = a² − 2ab + b².

Запомни: (a − b)² = a² − 2ab + b²

Правило. У квадрата разности крайние слагаемые те же — квадраты первого и второго выражений, а удвоенное произведение берут со знаком «минус».