§ 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители

До сих пор каждый способ разложения работал сам по себе. В настоящих задачах их приходится соединять: один способ готовит многочлен для другого.

Способов у нас три: • вынесение общего множителя за скобки; • метод группировки; • формулы сокращённого умножения.

Единого рецепта на все случаи нет, но разумный порядок действий есть (рис. 1). Сначала ищем общий множитель у всех членов и выносим его за скобки — то, что осталось в скобках, всегда проще исходного многочлена. Затем смотрим, не подходит ли формула сокращённого умножения. Если формулы не видно, а членов четыре, пробуем группировку. И наконец, каждый полученный множитель разглядываем ещё раз: вдруг он тоже раскладывается.

Признаки, по которым выбирают способ, собраны в таблице на рис. 2.

Пример 1. Разложим на множители: 1) 5a²b − 45b; 2) −2x² + 20xy − 50y²; 3) 54m⁴ + 2m; 4) 2a³ + 10a² − 6a²b − 30ab.

Решение. 1) 5a²b − 45b = 5b(a² − 9) = 5b(a − 3)(a + 3) 2) −2x² + 20xy − 50y² = −2(x² − 10xy + 25y²) = −2(x − 5y)² 3) 54m⁴ + 2m = 2m(27m³ + 1) = 2m(3m + 1)(9m² − 3m + 1) 4) 2a³ + 10a² − 6a²b − 30ab = = 2a(a² + 5a − 3ab − 15b) = = 2a(a(a + 5) − 3b(a + 5)) = = 2a(a + 5)(a − 3b)