§ 12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки

Перемножим два многочлена 2x − 3 и x − 1:

(2x − 3)(x − 1) = = 2x² − 2x − 3x + 3 = = 2x² − 5x + 3.

Теперь прочитаем полученное равенство справа налево:

2x² − 5x + 3 = (2x − 3)(x − 1).

Трёхчлен превратился в произведение двух двучленов (рис. 1): слева сумма членов, справа — множители, каждый из которых устроен проще исходного выражения.

Определение. Если многочлен записан как произведение нескольких многочленов, говорят, что он разложен на множители.

Зачем это нужно? Уравнение 2x² − 5x + 3 = 0 ты решать пока не умеешь, а каждое из уравнений 2x − 3 = 0 и x − 1 = 0 решается в одно действие. Произведение равно нулю только тогда, когда нулю равен хотя бы один из множителей, поэтому запись

(2x − 3)(x − 1) = 0

даёт 2x − 3 = 0 или x − 1 = 0, то есть x = 1,5 или x = 1. Трудная задача свелась к двум лёгким — в этом главная польза разложения.

Приёмов разложения много, начнём с самого простого — вынесения общего множителя за скобки. Он опирается на знакомое распределительное свойство, прочитанное в обратную сторону:

ac + bc = c(a + b).

Этим приёмом ты уже пользовался при счёте. Например,

2,4 · 3,7 − 2,4 · 0,7 = 2,4(3,7 − 0,7) = 2,4 · 3 = 7,2.

Общий множитель 2,4 ушёл за скобки, и вычисление стало устным.

Правило. За скобки выносят наибольший общий делитель числовых коэффициентов, а каждую общую букву берут в наименьшей из встречающихся степеней.

Как это устроено, показано на рис. 2: у одночленов 12a³b² и 18a²b⁴ число перед скобкой равно НОД(12; 18) = 6, буква a берётся в степени a², буква b — в степени b².