§ 11. Умножение многочлена на многочлен

Перемножать можно не только одночлен и многочлен, но и два многочлена. Разберём это на произведении (m + n)(x − y − z). Спрячем весь трёхчлен под одну букву: пусть k = x − y − z. Умножение на одночлен k нам уже знакомо:

(m + n)k = mk + nk.

Осталось вернуть трёхчлен на место буквы k:

mk + nk = m(x − y − z) + n(x − y − z) = = mx − my − mz + nx − ny − nz.

Тот же ответ выходит сразу, если соединить стрелкой каждый член первой скобки с каждым членом второй (рис. 1): двучлен и трёхчлен дают 2 · 3 = 6 произведений.

Правило. Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого умножают на каждый член второго, а полученные произведения складывают.

У правила есть наглядный смысл (рис. 2): прямоугольник со сторонами a + b и c + d разрезан на четыре части, поэтому его площадь равна ac + ad + bc + bd.

Сколько произведений выйдет до приведения подобных членов, можно сосчитать заранее (рис.