§ 1. Делители и кратные

Раздели 56 на 8. Остаток получится нулевой: 56 = 8 · 7. В таком случае говорят, что 56 делится нацело на 8. Число 8 при этом называют делителем числа 56, а само число 56 — кратным числа 8. Второму множителю достаётся то же звание: 7 — тоже делитель числа 56.

Определение. Пусть a и b — натуральные числа. Число a делится нацело на b, если найдётся натуральное c, для которого a = b · c

Определение. Если a делится нацело на b, то число a — кратное числа b, а число b — делитель числа a.

Кто кем приходится в равенстве 56 = 8 · 7, показано на рис. 1: слева от знака равенства стоит кратное, а справа — оба его делителя.

Что означает «делится нацело», хорошо видно на клетках. Выложим 56 клеток рядами по 8 штук — получится ровно 7 полных рядов, ни одной клетки не останется без места (рис. 2, слева). Теперь разложим те же 56 клеток рядами по 9: полных рядов выйдет 6, а 2 клетки повиснут отдельно (рис. 2, справа). Значит, на 9 число 56 нацело не делится, число 9 делителем числа 56 не является, и 56 не кратно числу 9.

Одну и ту же связь двух чисел описывают четырьмя разными фразами: «45 делится нацело на 15», «15 — делитель числа 45», «45 кратно числу 15», «45 — кратное числа 15». Смысл у них общий, поэтому пользуйся любой.

Свойство. Единица делит без остатка каждое натуральное число, и всякое натуральное число делится нацело само на себя. Поэтому у числа a самый маленький делитель равен 1, а самый большой — самому a.

Правило. Кратные числа a получаются, если умножать его на 1, 2, 3 и дальше по порядку: для a = 7 это 7, 14, 21, 28, …