Главная → Уроки → Геометрия 9 класс

§ 22. Цилиндр. Конус. Шар

Прочитай параграф о цилиндре, конусе и шаре: из чего они получаются вращением, как выглядят развёртки цилиндра и конуса, по каким формулам считают площади поверхностей и объёмы, — и ответь на 10 вопросов.

Консервная банка, хоккейная шайба, вафельный рожок, мяч — примеры тел вращения. Такое тело получается, если плоскую фигуру вращать вокруг прямой.

Цилиндр. Будем вращать прямоугольник ABCD вокруг стороны AB (рис. 1). Прямая AB — ось цилиндра. Стороны BC и AD описывают два равных круга — основания цилиндра, их радиус R равен BC. Сторона CD описывает боковую поверхность. Любое положение отрезка CD при вращении называют образующей цилиндра. Все образующие равны, параллельны оси и перпендикулярны плоскостям оснований, поэтому длина образующей h служит и высотой цилиндра.

Цилиндр с вертикальной осью AB и красными стрелками вращения; внутри закрашен прямоугольник ABCD: BC — радиус верхнего основания R, CD — образующая h, слева спереди ещё одна образующая C₁D₁; невидимые линии штриховые
Рис. 1. Цилиндр получается вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны AB; CD и C₁D₁ — образующие.

Разрежем боковую поверхность по образующей и развернём на плоскости. Выйдет прямоугольник — развёртка боковой поверхности цилиндра (рис. 2). Одна его сторона — образующая h, другая — окружность основания, выпрямленная в отрезок длиной 2πR. Площадь боковой поверхности равна площади развёртки: S_бок = 2πRh. Поверхность цилиндра — это боковая поверхность и два основания, каждое площадью πR²: S = S_бок + 2S_осн. Объём цилиндра: V = πR²h.

Слева цилиндр, одна образующая выделена красным; стрелка вправо; справа закрашенный прямоугольник: верхняя сторона подписана 2πR, боковая h, левая и правая стороны красные
Рис. 2. Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами 2πR и h.

Пример 1. Дано: цилиндр, R = 3 см, h = 5 см. Найти S и V. Решение. S_бок = 2π · 3 · 5 = 30π (см²), S_осн = π · 3² = 9π (см²), S = 30π + 2 · 9π = 48π (см²). Объём V = π · 3² · 5 = 45π (см³).

Дальше — в приложении

Полный пересказ по учебнику «Геометрия 9 класс», тест из большого пула вопросов и разбор ошибок с ИИ-репетитором. За сданный тест ребёнок получает экранное время — родители задают, сколько минут стоит урок.

Пройти урок бесплатноКак это работает

Вопросы из теста

Правильные ответы и разбор ошибок — в приложении: при пересдаче вопросы меняются, поэтому списать не получится.

Боковую поверхность конуса разрезали по образующей и развернули на плоскости. Какая фигура получилась?

Прямоугольник ABCD вращают вокруг стороны AB, и получается цилиндр. Чем для этого цилиндра служит отрезок CD?

← § 21. Прямая призма. Пирамида