§ 12. Теоремы

Геометрия почти целиком состоит из теорем, и за одиннадцать параграфов их у нас набралось больше двадцати. Пора разобраться, как теорема устроена, какими бывают теоремы и какими способами их доказывают.

Условие и заключение. Почти любую теорему можно записать в форме «если …, то …». Часть после слова «если» — то, что дано; её называют условием теоремы. Часть после слова «то» — то, что требуется доказать; это заключение теоремы.

Возьмём теорему 9.1 о равнобедренном треугольнике: если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны. Условие — «треугольник равнобедренный», то есть AB = BC. Заключение — «углы при основании равны», то есть ∠A = ∠C. На рис. 1 слева синим отмечено то, что дано, справа красным — то, что из него следует.

Бывает, что слов «если» и «то» в формулировке нет. Теорема 4.2 звучит совсем коротко: «Вертикальные углы равны». Перепишем её иначе: если два угла вертикальные, то они равны — и условие с заключением сразу видны. В первом признаке равенства треугольников условие состоит из трёх равенств AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠A = ∠A₁, а заключение одно: ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Свойства и признаки. Доказанные теоремы удобно делить на два вида. Теорема-свойство начинает с фигуры, про которую уже известно, какая она, и сообщает, чем эта фигура обладает. Теорема 1.1 — свойство двух пересекающихся прямых, теорема 4.1 — свойство смежных углов, теорема 9.1 — свойство равнобедренного треугольника.

Теорема-признак работает в обратную сторону: перечисляет приметы, по которым фигуру узнают и относят к нужному виду. Признаки равенства треугольников (теоремы 8.1, 8.3 и 11.1) говорят, каких равенств хватит, чтобы зачислить два треугольника в равные. Теоремы 10.1–10.4 — признаки равнобедренного треугольника; например, треугольник, у которого два угла равны, обязательно равнобедренный. Отличить одно от другого просто: в свойстве фигура стоит в условии, а в признаке она появляется в заключении.

Следствия. Теоремы, которые непосредственно вытекают из аксиом или из других теорем, называют следствиями. Из теоремы 9.1 сразу получается: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Ещё одно её следствие — в равностороннем треугольнике все углы равны: любые две его стороны можно считать боковыми.

Прямая и обратная теоремы. Поменяем в теореме местами условие и заключение — выйдет новое утверждение.