Главная → Уроки → Геометрия 7 класс

§ 11. Третий признак равенства треугольников

Прочитай параграф о третьем признаке равенства треугольников и ответь на 10 вопросов.

Первые два признака равенства (§ 8) требуют знать углы. Третий обходится одними сторонами.

Теорема 11.1 (признак равенства по трём сторонам). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, CA = C₁A₁ (рис. 1). Докажем, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Два треугольника ABC и A₁B₁C₁ в разных положениях; стороны AB и A₁B₁ помечены одной чёрточкой, BC и B₁C₁ — двумя, CA и C₁A₁ — тремя
Рис. 1. Три пары равных сторон: одинаковое число чёрточек — равные стороны.

Шаг 1. Приложим треугольники так, чтобы A совпала с A₁, B — с B₁, а C и C₁ легли по разные стороны от прямой AB. Проведём отрезок CC₁ (рис. 2).

Шаг 2. Раз AC = A₁C₁, треугольник CA₁C₁ равнобедренный, и углы при его основании CC₁ равны: ∠1 = ∠2 (§ 9).

Шаг 3. Так же из BC = B₁C₁ следует ∠3 = ∠4.

Шаг 4. Сложим: ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4, то есть ∠A₁C₁B₁ = ∠A₁CB₁.

Шаг 5. У треугольников A₁CB₁ и A₁C₁B₁ две стороны и угол между ними равны — по первому признаку равны и они. Доказано.

Треугольники приложены по общей стороне AB: вершина C сверху, C₁ снизу, отрезок CC₁ пересекает AB; при вершинах C и C₁ отмечены углы 1, 2 (одна дужка) и 3, 4 (две дужки)
Рис. 2. Треугольники приложены сторонами AB и A₁B₁, вершины C и C₁ — по разные стороны от прямой.

Отрезок CC₁ может пройти и через конец A₁ (рис. 3) — тогда хватает одного равнобедренного треугольника CB₁C₁, — или мимо отрезка A₁B₁ (рис.

Дальше — в приложении

Полный пересказ по учебнику «Геометрия 7 класс», тест из большого пула вопросов и разбор ошибок с ИИ-репетитором. За сданный тест ребёнок получает экранное время — родители задают, сколько минут стоит урок.

Пройти урок бесплатноКак это работает

Вопросы из теста

Правильные ответы и разбор ошибок — в приложении: при пересдаче вопросы меняются, поэтому списать не получится.

Какое из утверждений — третий признак равенства треугольников?

У треугольников ABC и KLM известно, что AB = KL и BC = LM. Какого равенства не хватает, чтобы доказать равенство треугольников именно по третьему признаку?

← § 10. Признаки равнобедренного треугольника