§ 9. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью

Прямая линия — редкий гость среди настоящих траекторий. Мяч после углового удара идёт по дуге, автомобиль вписывается в поворот, лопасть вентилятора чертит круг, спутник виток за витком обходит планету. Движение по изогнутой траектории называют криволинейным. По кривым обходят Солнце планеты, по кривым перемещаются и звёзды нашей Галактики. Опираясь на правила такого движения, астрономы заранее указывают место планеты на небе на десятилетия вперёд, а инженеры рассчитывают виражи дорог, лопатки турбин и барабаны станков. Пока путь прямой, о направлении мгновенной скорости и спрашивать нечего: вектор лежит на самой линии пути. А как быть, если линия всё время загибается?

Проследим за небольшим телом, которое идёт по плавной дуге. Мысленно заменим дугу цепочкой очень коротких прямых звеньев и будем считать, что тело шагает именно по звеньям этой цепочки. Чем короче звенья и чем их больше, тем меньше ломаная отличается от исходной дуги. Векторы перемещения при этом укорачиваются, словно стягиваясь в точку, а их направления подходят вплотную к касательным. Вектор скорости смотрит туда же, куда и перемещение за очень малый промежуток времени. Значит, в каждой точке кривой вектор скорости лежит на касательной, проведённой через эту точку.

Убедиться в этом помогает простой опыт. Прижмём стальной пруток к быстро вращающемуся точильному кругу — из места касания веером полетят искры. Искры — это раскалённые крупинки металла и абразива, сорвавшиеся с круга. Оторвавшись, каждая крупинка летит уже по прямой и сохраняет ту скорость, какую имела в миг отрыва. Веер искр показывает направление этих скоростей, и он всегда вытянут вдоль касательной к ободу круга. То же самое видно на рис. 1: следи за стрелкой скорости у бегущей точки — длину она не меняет, но непрерывно разворачивается и в любой миг лежит на касательной.

Кривых на свете бесконечно много, и все они разные. Но за достаточно короткий промежуток времени почти любой участок кривой можно без большой ошибки заменить дугой подходящей окружности.