§ 8. Свойства функции

Про деталь многое понятно по чертежу, про сломанную кость — по рентгеновскому снимку. У функции тоже есть свой «портрет» — её график. По одной линии на координатной плоскости видно всё поведение зависимости сразу: где значения растут, где падают, где обращаются в нуль, какими они вообще бывают. Научимся читать такой портрет по порядку.

Возьмём для разбора график функции y = f (x), изображённый на рис. 3. Кривая начинается в точке (−4; 3), заканчивается в точке (7; −4) и по дороге трижды пересекает ось абсцисс.

Первое, что читают по чертежу, — область определения и область значений. Область определения D(f) — это множество всех абсцисс точек графика, попросту его «тень» на оси Ox. У нашей кривой тень занимает отрезок от −4 до 7, поэтому D(f) = [−4; 7]. Область значений E(f) — множество всех ординат, «тень» графика на оси Oy: ниже отметки −4 линия не опускается, выше отметки 4 не поднимается, значит, E(f) = [−4; 4].

Определение. Нулём функции называют такое значение аргумента, при котором функция обращается в нуль.

По чертежу нули видны сразу: это абсциссы точек, в которых линия пересекает ось Ox. У функции с рис. 4 их три, и равны они −3, 1 и 5.

Когда функция задана формулой, нули ищут решением уравнения f(x) = 0. Например, для f(x) = 2x − 6 получаем: 2x − 6 = 0, 2x = 6, x = 3. Нулей может не быть совсем: у функции y = x² + 4 уравнение x² + 4 = 0 корней не имеет, и весь её график лежит выше оси абсцисс.

Определение. Промежуток, на котором все значения функции имеют один и тот же знак, называют промежутком знакопостоянства функции.

Отыскать такие промежутки — значит ответить, где линия идёт над осью Ox, а где под ней. На рис. 5 участки над осью закрашены зелёным, под осью — розовым. Читаем: f(x) > 0 на [−4; −3) и на (1; 5), а f(x) < 0 на (−3; 1) и на (5; 7]. Границами служат нули функции — именно в них знак и меняется.

Запомни: в ответ включают промежутки наибольшей длины. Отрезок (−2; −1) тоже целиком лежит под осью, но записывать надо содержащий его промежуток (−3; 1), иначе ответ окажется неполным.

Теперь пройдём по оси абсцисс слева направо и посмотрим, что делает кривая. От −4 до −1 она опускается: чем правее берём аргумент, тем меньше получается значение.