Главная → Уроки → Алгебра 9 класс
§ 23. Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Прочитай параграф о сумме первых n членов арифметической прогрессии и реши 10 заданий. В расчётных заданиях запиши только число.
Складывать члены прогрессии по одному долго: даже сотня слагаемых займёт целую тетрадную страницу. Есть приём, который сводит всю работу к двум действиям, и придумал его, по преданию, ещё школьником немецкий математик Карл Фридрих Гаусс.
Ряд 1, 2, 3, …, 100 — арифметическая прогрессия с разностью 1. Запишем её сумму дважды: сначала от начала к концу, потом от конца к началу, и сложим два равенства по столбикам (рис. 1). В каждом столбике получается 101, а столбиков ровно сто:
2S₁₀₀ = 101 · 100; 2S₁₀₀ = 10 100; S₁₀₀ = 5050.
Тот же ход годится для любой прогрессии (рис. 2). В первой строке идём от a₁, каждый раз прибавляя d, во второй — от aₙ, каждый раз вычитая d:
Sₙ = a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + … + (aₙ − d) + aₙ; Sₙ = aₙ + (aₙ − d) + (aₙ − 2d) + … + (a₁ + d) + a₁.
Сложим равенства по столбикам. В каждом столбике разность d исчезает: в верхней строке её прибавили столько же раз, сколько вычли в нижней, — и остаётся a₁ + aₙ. Столбиков ровно n, поэтому 2Sₙ = (a₁ + aₙ) · n.
Дальше — в приложении
Полный пересказ по учебнику «Алгебра 9 класс», тест из большого пула вопросов и разбор ошибок с ИИ-репетитором. За сданный тест ребёнок получает экранное время — родители задают, сколько минут стоит урок.
Пройти урок бесплатноКак это работаетВопросы из теста
Правильные ответы и разбор ошибок — в приложении: при пересдаче вопросы меняются, поэтому списать не получится.
По какой формуле находят сумму первых n членов арифметической прогрессии, если известны первый и последний из этих членов?
- Sₙ = (a₁ + aₙ)·n
- Sₙ = (a₁ − aₙ)·n/2
- Sₙ = a₁ + aₙ + n
- Sₙ = (a₁ + aₙ)/(2n)
- Sₙ = (a₁ · aₙ)·n/2
- Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2
По какой формуле находят Sₙ, если известны первый член a₁, разность d и число членов n, а последний член не дан?
- Sₙ = (a₁ + (n − 1)·d)·n
- Sₙ = (2a₁ + n·d)·n/2
- Sₙ = (a₁ + d)·n/2
- Sₙ = (2a₁ − (n − 1)·d)·n/2
- Sₙ = (2a₁ + (n − 1)·d)·n/2
- Sₙ = 2a₁ + (n − 1)·d