§ 22. Арифметическая прогрессия

Определение. Арифметической прогрессией называют последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа.

Взгляни на ряд 3, 7, 11, 15, 19, 23 (рис. 1). От любого числа к следующему шаг одинаков: прибавляем 4. Это и есть арифметическая прогрессия. Само слово «прогрессия» пришло из латыни и означает «движение вперёд».

Число, на которое соседние члены отличаются друг от друга, называют разностью прогрессии и обозначают буквой d (от латинского differentia — «разность»). Ищут её всегда как «следующий минус предыдущий»:

d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = a₄ − a₃ = …

Значит, при любом натуральном n верно равенство

aₙ₊₁ − aₙ = d,

а из него получается рекуррентная формула прогрессии:

aₙ₊₁ = aₙ + d.

Запомни: прогрессия задана полностью, если названы всего два числа — первый член a₁ и разность d. Например, при a₁ = 3 и d = 5 выходит ряд 3, 8, 13, 18, 23, 28, …, а при a₁ = 1 и d = 2 — все нечётные числа 1, 3, 5, 7 и так далее.

Чтобы проверить, прогрессия перед тобой или нет, сравни разности соседних членов (рис. 2). У ряда 3, 7, 11, 15, 19 они все равны 4 — прогрессия. А у ряда 2, 4, 8, 16, 32 шаги получаются разные: +2, +4, +8, +16, поэтому арифметической прогрессией он не является.

Разность бывает любого знака, и от неё зависит поведение прогрессии (рис. 3). При d > 0 члены растут: 1; 2,5; 4; 5,5; 7 — здесь d = 1,5. При d < 0 убывают: 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 при d = −1. При d = 0 прогрессия постоянна — ряд 4, 4, 4, 4, … тоже арифметическая прогрессия, просто шаг у неё нулевой.

Считать члены по одному долго: чтобы добраться до сотого, придётся 99 раз прибавить d.