§ 13. Системы уравнений с двумя переменными

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называют пару чисел (x; y), которая обращает это уравнение в верное равенство. Если отметить все такие пары на координатной плоскости, получится линия — график уравнения.

Определение. Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару чисел, которая является решением каждого уравнения системы одновременно. Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Отсюда главная мысль параграфа: решения системы — это общие точки графиков её уравнений. Строим оба графика в одной системе координат и снимаем координаты точек пересечения. Такой приём называют графическим методом. В 7 классе им решали системы линейных уравнений, где обе линии были прямыми; теперь линии могут быть и кривыми.

Пример 1. Решите графически систему y = x², y = x + 2.

Решение. График первого уравнения — парабола, график второго — прямая. На рис. 1 видно, что они пересекаются в двух точках: (−1; 1) и (2; 4). Чертёж точности не гарантирует, поэтому найденные пары проверяют подстановкой: (−1)² = 1 и 1 = −1 + 2 — верно; 2² = 4 и 4 = 2 + 2 — верно.

Ответ: (−1; 1), (2; 4).

На уроках геометрии доказано, что уравнение (x − a)² + (y − b)² = R², где R > 0, задаёт окружность радиуса R с центром (a; b). В частности, уравнение x² + y² = R² задаёт окружность с центром в начале координат. Это заметно расширяет круг систем, которые можно решать по чертежу.

Пример 2. Решите графически систему x² + y² = 25, y = x + 1.

Решение. Первое уравнение задаёт окружность радиуса 5 с центром (0; 0), второе — прямую. По чертежу (рис. 2) общих точек две: (3; 4) и (−4; −3). Проверка: 3² + 4² = 25 и 4 = 3 + 1; (−4)² + (−3)² = 25 и −3 = −4 + 1.

Ответ: (3; 4), (−4; −3).

Запомни: три линии, которые встречаются чаще всего, собраны на рис.