§ 16. Свойства арифметического квадратного корня

Извлекать корень из точного квадрата мы уже умеем: √25 = 5, √0,49 = 0,7, √0 = 0. Кажется, будто равенство √(a²) = a выполняется всегда. Проверим его при a = −6: тогда a² = 36, а √36 = 6, то есть вернулось не само a, а противоположное ему число. Так же ведёт себя и запись √((−11)²) = √121 = 11. Корень из квадрата выдаёт расстояние от числа до нуля, то есть его модуль (рис. 1).

Теорема. Каким бы ни было действительное число a, выполняется равенство

√(a²) = |a|.

Доказательство опирается на определение корня: запись √a = b означает два требования сразу, b ≥ 0 и b² = a. Проверим их для числа |a|. Модуль неотрицателен при любом a, а по определению он равен либо самому числу, либо противоположному, и в обоих случаях его квадрат равен a².

Отсюда видно, когда радикал возвращает само число, а когда — противоположное:

√(a²) = a, если a ≥ 0; √(a²) = −a, если a < 0.

Под радикалом может стоять и более высокая чётная степень: её всегда удаётся свернуть в квадрат, a⁶ = (a³)², a¹⁰ = (a⁵)².

Теорема. Для любого действительного числа a и любого натурального числа n выполняется равенство

√(a²ⁿ) = |aⁿ|.

Доказывают её так же: степень a²ⁿ — это квадрат числа aⁿ. Например, √(m¹⁴) = |m⁷|, и знак модуля здесь убрать нельзя: при отрицательном m число m⁷ отрицательно. А в записи √(m¹⁶) = |m⁸| модуль снимается: чётная степень неотрицательна при любом m.

Теорема. Если a ≥ 0 и b ≥ 0, то

√(ab) = √a · √b.

Идея доказательства прежняя — проверить два требования к записи корня. Произведение √a · √b неотрицательно, ведь неотрицателен каждый множитель. Возведём его в квадрат:

(√a · √b)² = (√a)² · (√b)² = ab.

Оба требования выполнены, поэтому √a · √b — это и есть корень из ab.

Множителей может быть и больше двух: сгруппируем два из них и применим теорему дважды: