§ 15. Числовые множества

Считать предметы человек научился раньше, чем писать, и первыми числами стали 1, 2, 3, 4, … . Из них собрано множество натуральных чисел, за которым в математике закреплена буква N.

Одних натуральных чисел хватило ненадолго. Долю пирога, часть пути, половину часа целым числом не запишешь — так в счёт вошли дробные числа. Потом понадобилось различать запас и долг, тепло и мороз, шаг вперёд и шаг назад, и рядом с каждым числом встало противоположное ему.

Определение. Множество целых чисел составляют нуль, все натуральные числа и все числа, противоположные натуральным; обозначают это множество буквой Z.

Знак ∈ читают «принадлежит», знак ∉ — «не принадлежит». Например, 7 ∈ Z, −41 ∈ Z, 0 ∈ Z, а 0,5 ∉ Z. Каждое натуральное число оказалось и целым, а целых чисел больше, поэтому N ⊂ Z.

Определение. Множество рациональных чисел составляют все целые и все дробные числа — и положительные, и отрицательные; обозначают его буквой Q.

Так, −7 ∈ Q, 0 ∈ Q, 3/8 ∈ Q, −1,25 ∈ Q. Целое число тоже рационально, значит Z ⊂ Q, и вся цепочка пока выглядит так: N ⊂ Z ⊂ Q. На рис. 1 видно, что круги вложены один в другой: внутри Q лежит весь Z, а внутри Z — весь N.

Запомни: число рационально ровно тогда, когда его удаётся записать в виде m / n, где m — целое, а n — натуральное.

Проверим это на разных числах:

6 = 6 / 1; −4 = −4 / 1; 0 = 0 / 9; 0,7 = 7 / 10; −2,25 = −9 / 4.

Латинское слово ratio означает «отношение» — отсюда и пошло название «рациональное число».

Ещё в шестом классе обыкновенную дробь переводили в десятичную запись делением уголком: числитель делят на знаменатель. Случиться при этом может одно из двух. Либо деление обрывается, и получается конечная десятичная дробь. Либо остатки начинают повторяться, и тогда в записи бесконечно повторяется одна и та же группа цифр. Эту группу называют периодом дроби и заключают в круглые скобки. Сравни строки таблицы на рис. 2: у первых двух дробей деление кончилось, у остальных зациклилось.

Например, 3 / 8 = 0,375, а 7 / 11 = 0,6363… = 0,(63): период здесь равен 63. У дроби 5 / 6 = 0,8333… период начинается не сразу после запятой, поэтому пишут 0,8(3).

Конечная запись — тоже частный случай периодической, если дописать справа нули:

0,375 = 0,375000… = 0,375(0); 4 = 4,000… = 4,(0).

Свойство. Всякое рациональное число записывается бесконечной периодической десятичной дробью. Верно и обратное: всякая бесконечная периодическая десятичная дробь — это запись какого-то рационального числа.

Обратный переход делается по короткому правилу; его удобно держать перед глазами схемой (рис.