§ 28. Решение систем линейных уравнений методом сложения

Систему из двух линейных уравнений, в которой неизвестных тоже два, можно свести к уравнению с одной переменной не только подстановкой. Есть приём короче: уравнения складывают почленно так, чтобы одна переменная исчезла. Его называют методом сложения.

Начнём со случая, когда система к сложению уже готова:

4x + 3y = 26 2x − 3y = 4

Коэффициенты при y здесь противоположны: 3 и −3. Сложим отдельно левые части уравнений и отдельно правые (рис. 1). Слагаемые 3y и −3y дают в сумме нуль, и переменная y пропадает:

(4x + 3y) + (2x − 3y) = 26 + 4; 6x = 30; x = 5.

Найденное число подставляют в любое уравнение системы. Возьмём первое: 4 · 5 + 3y = 26; 3y = 6; y = 2. Ответ: (5; 2).

Правило. Если одно уравнение системы заменить тем, которое получилось сложением левых и правых частей обоих уравнений, множество решений не изменится. Мы принимаем это без доказательства, а пользуемся постоянно.

Готовой система бывает не всегда.