§ 22. График функции

Формула — это правило: подставил значение аргумента, получил значение функции. График показывает то же правило целиком, сразу: видно, где функция растёт, где обращается в нуль, какие значения она вообще принимает.

Возьмём функцию y = x² − 2x − 3 и договоримся, что аргумент меняется в пределах −2 ⩽ x ⩽ 4. Подставим по очереди целые значения аргумента и посчитаем значения функции; например, при x = 3 получаем y = 9 − 6 − 3 = 0. Все семь пар удобно собрать в таблицу (рис. 1).

Каждый столбец таблицы — пара чисел. Будем считать верхнее число абсциссой, а нижнее — ординатой точки координатной плоскости. Семь пар дают семь точек: (−2; 5), (−1; 0), (0; −3), (1; −4), (2; −3), (3; 0), (4; 5). Они отмечены на рис. 2.

Целыми значениями аргумента дело не ограничивается. Возьмём x = 0,5: тогда y = 0,25 − 1 − 3 = −3,75. Возьмём x = 2,5: тогда y = 6,25 − 5 − 3 = −1,75. Чем мельче шаг, тем гуще ложатся точки: на левом поле рис. 3 шаг уменьшен до 0,5. Если бы удалось отметить точки для всех значений аргумента подряд, они слились бы в сплошную линию. Её и рисуют, соединяя отмеченные точки плавной кривой (правое поле рис. 3).

Определение. Графиком функции f называют фигуру на координатной плоскости, составленную ровно из тех точек, у которых абсцисса — значение аргумента, а ордината — отвечающее ему значение функции f.

Слово «ровно» здесь главное, и раскрывается оно двумя условиями. Первое: если x₀ — какое-нибудь значение аргумента, то точка (x₀; f(x₀)) обязательно лежит на графике. Второе: если точка (x₀; y₀) взята с графика, то y₀ = f(x₀).