§ 16. Абсолютная и относительная погрешности

Сколько лип растёт в городском парке? Сколько книг стоит на полках школьной библиотеки? Сколько воды в Ладожском озере? Ответить на такие вопросы можно только примерно: пересчитать всё до последней единицы либо невозможно, либо бессмысленно — величина меняется, пока идёт подсчёт.

Приближённые значения появляются не только при подсчёте. Любое измерение — длины, времени, массы, силы тока — даёт число с точностью до возможностей прибора. С приближениями ты уже работал: округлял десятичные дроби, заменял обыкновенную дробь десятичной, снимал корень уравнения с графика. Важно не само приближение, а то, насколько сильно оно может отличаться от точного значения.

Пусть служба доставки обещает привезти заказ за 40 мин с точностью до 10 мин. Значит, настоящее время t лежит между 30 и 50 мин (рис. 1). Записывают это так: t = 40 ± 10 мин, а читают: «t равно 40 минутам с точностью до 10 минут». Отсюда 40 − 10 ≤ t ≤ 40 + 10; 30 ≤ t ≤ 50.

Разберём ту же ситуацию в общем виде. Точное значение величины обозначим x, заменяющее его число — a, а обещанную точность — h. Коротко это пишут так: x = a ± h. Развернём эту запись в двойное неравенство a − h ≤ x ≤ a + h. Вычтем a из каждой части: −h ≤ x − a ≤ h, а последнее равносильно короткой записи |x − a| ≤ h.

Определение. Абсолютная погрешность приближения — это модуль разности точного и приближённого значений: Δ = |x − a|.