§ 10. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x + a)

График функции y = x² нам уже знаком: это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Знакомы и другие линии — ветвь корня y = √x, гипербола, «уголок» y = |x|. Оказывается, имея под рукой всего один такой график, можно почти без вычислений начертить целое семейство новых. Для этого кривую не строят заново по точкам, а передвигают целиком: вверх, вниз, влево или вправо. Перемещение фигуры, при котором все её точки смещаются в одну сторону на одно и то же расстояние, называют параллельным переносом. Разберём два таких переноса и научимся соединять их в одну цепочку.

Начнём с движения по вертикали и сравним две функции: y = x² и y = x² + 3. Посчитаем их значения для семи значений x от −3 до 3 и запишем результат в таблицу на рис. 10.

Взгляни на две нижние строки таблицы: под каждым значением x нижнее число ровно на 3 больше среднего. По-другому быть не может: формулы отличаются только слагаемым 3. Значит, точке (x₀; y₀) первой кривой отвечает ровно одна точка (x₀; y₀ + 3) второй — абсцисса та же, ордината больше на 3. Верно и обратное: любая точка (x₁; y₁) второй кривой получена из точки (x₁; y₁ − 3) параболы y = x². Поэтому весь второй график — это первый, поднятый на 3 клетки: каждая точка уехала строго вверх, вбок не сместилась ни одна.

Точно так же формула y = x² − 2 опускает параболу на 2 единицы: все ординаты уменьшаются на 2, а вершина из точки (0; 0) переходит в точку (0; −2). На рис. 1 три кривые изображены на одних осях, и видно главное: они одинаковой формы и как бы нанизаны на ось Oy ступеньками. Ветви нигде не расходятся и не сужаются — меняется только высота.

Правило. Чтобы получить график функции y = f(x) + b, достаточно перенести известный график y = f(x) параллельно оси Oy: вверх на b единиц, если b > 0, и вниз на −b единиц, если b < 0.

Обрати внимание: в этом правиле нет ни слова про квадрат, поэтому оно годится для любой функции. На рис. 4 показаны оба случая: слева ветвь корня поднялась на 3, справа гипербола опустилась на 1; стрелки одинаковой длины — кривая переехала целиком, а не изогнулась.

При параллельном переносе фигура не растягивается и не изгибается: получается фигура, равная исходной. Отсюда важный вывод — график любой функции вида y = x² + b снова является параболой, равной параболе y = x², а её вершина лежит в точке (0; b). Так, у кривой y = x² + 7 вершина — точка (0; 7), а у кривой y = x² − 1,5 — точка (0; −1,5).

Теперь выясним, что делает число, спрятанное внутрь скобки. Возьмём функцию y = (x + 2)² и покажем, откуда берётся её график. Пусть точка (x₀; y₀) лежит на параболе y = x², то есть x₀² = y₀. Подставим в новую формулу абсциссу x₀ − 2: ((x₀ − 2) + 2)² = x₀² = y₀.