§ 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения

Два уравнения могут выглядеть совсем по-разному, а решаться одинаково. Возьмём x² = 9 и |x| = 3. Первому подходят числа −3 и 3, второму — те же самые −3 и 3. Наборы решений совпали, и достаточно справиться с любым из двух: ответ второго уравнения после этого известен сразу.

Такие пары встречаются на каждом шагу: 0,5x = 0 и 3x = 0; 5x = 10 и 10x − 20 = 0; x² = 4 и (x − 2)(x + 2) = 0.

Отдельно договариваются о случае, когда решать нечего. Ни у x² = −7, ни у |x| = −1 нет ни одного корня. Наборы решений у них пустые, то есть опять одинаковые, — и такую пару тоже относят к равносильным.

Определение. Уравнения называют равносильными, если множества их корней совпадают либо если ни одно из них корней не имеет.

Один общий корень равносильности ещё не даёт. Число 5 обращает в верное равенство и (x − 5)(x + 4) = 0, и x − 5 = 0. Однако у первого уравнения есть второй корень −4, а у второго его нет: наборы решений разные (рис. 1).

В 7 классе ты уже пользовался свойствами уравнений. Теперь их удобно назвать преобразованиями, сохраняющими равносильность.

Свойство. Если к обеим частям прибавить одно и то же число или вычесть из обеих частей одно и то же число, получится уравнение, равносильное исходному.

Свойство. Если слагаемое перенести через знак равенства, поменяв ему знак, получится уравнение, равносильное исходному.

Свойство. Если обе части умножить на одно и то же число, отличное от нуля, или разделить на такое число, получится уравнение, равносильное исходному.

Все три преобразования собраны на рис. 2. Проследим их на примере: 5x − 7 = 3x + 5. Перенесём 3x влево, а −7 вправо: 5x − 3x = 5 + 7, то есть 2x = 12. Разделим обе части на 2 и получим x = 6. Каждая строка равносильна предыдущей, поэтому корень последней строки и есть корень первой.

Оговорка «отличное от нуля» не случайна. Умножим обе части уравнения x = 4 на нуль — останется равенство 0 = 0, которому подходит любое число. Корни появились из ничего, а такое преобразование равносильности не сохраняет. Умножения обеих частей на выражение с переменной в списке тоже нет, и вот почему: умножив x = 4 на (x − 1), получим (x − 1)x = 4(x − 1), а у этого уравнения два корня — 4 и 1. Лишний корень приходит вместе с множителем, который сам может обратиться в нуль.

Разберём задачу. Поезд прошёл 240 км, затем увеличил скорость на 20 км/ч и следующие 300 км преодолел за такое же время.