§ 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень

Обыкновенные дроби ты умножаешь и делишь давно: 2/3 · 5/7 = 10/21, а 2/3 : 5/7 = 14/15. Оба действия описываются короткими равенствами:

a/b · c/d = (a · c) / (b · d), a/b : c/d = (a · d) / (b · c).

У рациональной дроби числитель и знаменатель — многочлены, но обращаются с ней так же.

Правило. Перемножая две рациональные дроби, числитель умножают на числитель, а знаменатель — на знаменатель; результат снова оказывается рациональной дробью.

Правило. Частное двух рациональных дробей — тоже рациональная дробь. Её числитель получается, если числитель делимого умножить на знаменатель делителя, а знаменатель — если знаменатель делимого умножить на числитель делителя.

Запомни: делить на дробь — это то же самое, что умножать на перевёрнутую дробь. На рис. 2 видно, как деление превращается в умножение: делитель ставят «вверх ногами», а знак деления меняют на знак умножения.

Перемножать всё подряд невыгодно: выйдет громоздкое произведение, которое придётся долго сокращать. Разумный порядок работы показан на рис. 1.

Пример 1. Выполним действия: 1) 18m⁵ / n⁴ · n² / (24m³); 2) (3x − 15) · 2x / (x² − 10x + 25); 3) (b² + 3b) / (b + 5) : (b² − 9) / (4b + 20); 4) (7y² − 42y) / (y + 4) : (y − 6).

Решение. 1) Числа 18 и 24 сокращаются на 6, а одинаковые буквы — по свойству степеней:

18m⁵ / n⁴ · n² / (24m³) = (18m⁵ · n²) / (n⁴ · 24m³) = 3m² / (4n²).