§ 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

Часто за громоздкой записью прячется знакомое ax² + bx + c = 0: надо лишь обозначить буквой целое выражение.

Пример 1. Решим уравнение x⁴ − 10x² + 9 = 0.

Степень четвёртая, рецепта для неё нет. Зато x⁴ = (x²)², поэтому обозначим x² = t. Тогда x⁴ = t², и уравнение становится квадратным:

t² − 10t + 9 = 0.

Его корни t₁ = 1, t₂ = 9. Возвращаемся к обозначению: x² = 1 или x² = 9, откуда x = ±1 и x = ±3.

Ответ: −3; −1; 1; 3.

График y = x⁴ − 10x² + 9 пересекает ось x именно в этих точках (рис. 1, а): каждое положительное t дало пару противоположных корней.

Определение. Биквадратным называют уравнение ax⁴ + bx² + c = 0 с числовыми коэффициентами a, b и c, у которого a ≠ 0.

Обозначение x² = t превращает биквадратное уравнение в квадратное at² + bt + c = 0. Этот приём носит название метода замены переменной; порядок работы показан на рис. 2.

Запомни: t — это x², а квадрат отрицательным не бывает. Годится только неотрицательное значение t, отрицательное отбрасывают сразу.

Сколько корней x даёт одно значение t, показывает таблица на рис.