§ 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

Задача, с которой начинается тема, звучит просто. Квадратная клумба занимает 36 квадратных единиц площади; чему равна её сторона? Обозначим сторону буквой x. Площадь квадрата — это произведение стороны на саму себя, поэтому

x² = 36.

Какое число подходит? Подходят сразу два: 6² = 36 и (−6)² = 36 (рис. 1).

Определение. Квадратный корень из числа a — это такое число, вторая степень которого равна a.

Выходит, у числа 36 два квадратных корня: 6 и −6. Посмотрим на другие числа.

Для 81 квадратные корни — это 9 и −9, ведь 9² = 81 и (−9)² = 81. Для дроби 9/25 подходят 3/5 и −3/5: (3/5)² = 9/25 и (−3/5)² = 9/25. У нуля корень один-единственный, потому что только 0² = 0. У отрицательного числа корней нет совсем: квадрат не бывает меньше нуля, поэтому равенство x² = −16 не выполняется ни при каком x.

Вернёмся к клумбе. Сторона фигуры отрицательной не бывает, поэтому из двух найденных чисел ответом служит только 6 (рис. 2). Такому — неотрицательному — корню и дали особое имя.

Определение. Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, вторая степень которого равна a.

Обозначают его √a. Значок √ носит имя знака квадратного корня, или радикала (латинское radix — «корень»). Читают запись √a так: «квадратный корень из a», слово «арифметический» при чтении опускают. Выражение под радикалом называют подкоренным: в записи √(m − 3) подкоренное выражение — это двучлен m − 3. Само действие, которым по числу находят его арифметический квадратный корень, называют извлечением квадратного корня.

Запомни: подкоренное выражение отрицательным быть не может, и значение самого корня тоже никогда не бывает отрицательным. Эти два запрета — главное в теме, и почти каждая ошибка восьмиклассника происходит от того, что про них забыли.

Проверим определение на числах: √49 = 7, ведь 7 ≥ 0 и 7² = 49; √(4/9) = 2/3, ведь 2/3 ≥ 0 и (2/3)² = 4/9; √0,36 = 0,6, ведь 0,6 ≥ 0 и 0,6² = 0,36; √0 = 0, ведь 0 ≥ 0 и 0² = 0.

Свойство. Запись √a = b верна ровно тогда, когда выполнены сразу два условия: b ≥ 0 и b² = a.

Одного равенства b² = a мало. Скажем, (−7)² = 49, но писать √49 = −7 нельзя: у арифметического корня отрицательных значений не бывает.

Отсюда для любого неотрицательного a получаются два коротких утверждения:

√a ≥ 0, (√a)² = a.

Например, √13 ≥ 0 и (√13)² = 13; √6,5 ≥ 0 и (√6,5)² = 6,5. Второе равенство очень удобно в вычислениях: возведение корня в квадрат просто убирает радикал.