§ 10. Функция y = k/x и её график

Две величины бывают связаны так, что стоит одной вырасти в несколько раз, как вторая во столько же раз уменьшается. С такой связью ты уже встречался в шестом классе: её называют обратной пропорциональностью.

Первый случай. У покупателя есть 600 р. Обозначим через x р. цену одного килограмма конфет, а через y кг — сколько конфет удастся на эти деньги унести. Вся сумма тратится полностью, поэтому x · y = 600, откуда

y = 600 / x.

Подорожали конфеты вдвое — достанется вдвое меньше; подешевели втрое — купишь втрое больше. Произведение x · y при этом не меняется.

Второй случай. Пусть площадь прямоугольника равна 24 см², а его стороны — x см и y см. Из равенства x · y = 24 получаем

y = 24 / x.

Растянули одну сторону в 4 раза — вторая укоротилась в 4 раза, площадь не изменилась.

В обоих случаях вышла формула одного и того же устройства: постоянное число делят на переменную.

Определение. Обратной пропорциональностью называют функцию, которую задают формулой y = k / x, где k — число, не равное нулю.

Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности: в первом примере k = 600, во втором k = 24. Делить на нуль нельзя, поэтому выражение k / x имеет смысл при любом значении x, кроме нулевого.

Запомни: область определения функции y = k / x — все числа, кроме 0.

Возьмём для опытов функцию y = 8 / x и посчитаем несколько её значений (рис. 1). Например, при x = −4 получаем y = 8 / (−4) = −2, а при x = 2 выходит y = 8 / 2 = 4.

Отметим пары (x; y) из этой таблицы на координатной плоскости (рис. 2). Восемь точек — ещё не график: между ними остаются пустоты.

Возьмём значений аргумента побольше, с шагом в одну десятую. Точки лягут гуще и обрисуют плавную линию (рис. 3).

Если бы удалось отметить все точки, координаты которых обращают равенство y = 8 / x в верное, получилась бы кривая с рисунка 4.

Определение. Гиперболой называют фигуру, служащую графиком функции y = k / x при k ≠ 0. Гипербола распадается на две отдельные линии, их называют ветвями гиперболы.

С осями у этой кривой отношения особые. Точки с абсциссой 0 на графике быть не может: нуль не входит в область определения, поэтому с осью ординат общих точек нет. Ординаты, равной нулю, тоже не бывает: равенство 8 / x = 0 не выполняется ни при каком x, ведь дробь обращается в нуль только вместе со своим числителем.