§ 5. Степень с натуральным показателем

Сумму одинаковых слагаемых давно научились записывать короче: 5 + 5 + 5 = 5 · 3. Для произведения одинаковых множителей придумали такое же сокращение — степень. Вместо 7 · 7 · 7 · 7 пишут 7⁴, а вместо (2/3) · (2/3) · (2/3) — (2/3)³.

Определение. Пусть n — натуральное число, большее 1. Тогда n-й степенью числа a называют произведение, в котором ровно n множителей и каждый из них равен a.

В записи aⁿ число a называют основанием степени, а число n — показателем степени: основание показывает, что умножаем, показатель — сколько взято множителей (рис. 1).

Читают эту запись так: «a в n-й степени». У показателей 2 и 3 есть свои названия: a² читают «a в квадрате», a³ — «a в кубе».

Почему в определении оговорено n > 1? Произведение из одного-единственного множителя — это просто само число, ничего нового такая запись не даёт. Но показатель 1 всё-таки используют.

Определение. Первой степенью числа считают само это число: a¹ = a.

Коротко обе договорённости записывают так: aⁿ = a · a · … · a (n множителей), где n > 1; a¹ = a.

Само действие называют возведением в степень: равенство 2⁵ = 32 читают «двойку возвели в пятую степень, результат — 32». Первые шесть степеней двойки и тройки собраны на рис. 2, их стоит выучить наизусть.

Возведение в степень — такое же действие, как умножение или деление: из него тоже составляют буквенные выражения.